roboforum.ru

Технический форум по робототехнике.

 

Платформа Гью-Стюарта, математика

Раздел создан специально для людей которым интересна робототехника, но в силу разных причин они не знают с чего начать.
Задавайте ваши вопросы, какими бы простыми они не казались, постоянные посетители форума постараются ответить на них по мере своих сил.
Робот своими руками. Самодельный робот.

Платформа Гью-Стюарта, математика

Сообщение C_a_s_m » 04 дек 2014, 19:38

Добрый день!

Поиск в гугле помог найти только решение обратной кинематической задачи для платформы Гью-Стюарта.

L = ||p_t * Rot + p - p_b|| - l_n, где
p_t - координаты точек крепления актуаторов к верхней платформе, в моём случае
p_t[i] = {r * cos(a[i]), r * sin(a[i]), 0} при i=1..6, где r - радиус верхней платформы, a = { pi/3 - o/2, pi/3 + o/2, pi - o/2, pi + o/2, -pi/3 - o/2, -pi/3 - o/2 }, где o - угол между ближайшими креплениями актуаторов в верхней платформе
Rot - матрица поворота верхней платформы (|Rot| = 1)
p - координаты центра верхней платформы, в моём случае
p[i] = {px, py, pz} при i = 1..6
p_b - координаты точек крепления актуаторов к верхней платформе, в моём случае
p_b[i] = {R * cos(a[i]), R * sin(a[i]), 0} при i=1..6, где R - радиус нижней платформы, a = { O/2, 2pi/3 - O/2, 2pi/3 + O/2, -2pi/3 - O/2, -2pi/3 + O/2, -O/2 }, где O - угол между ближайшими креплениями актуаторов в нижней платформе
l_n - длины актуаторов в "втянутом" положении, в моём случае l_n = { l, l, l, l, l, l }
L - вектор требуемых выдвижений актуаторов, в моём случае 0 <= L[i] <= Lm при i=1..6, где Lm - величина максимального выдвижения актуатора

Однозначно не хватает ограничений на решения - верхний и нижний круги и актуаторы не могут проходить сквозь друг друга, верхний не может проходить сквозь плоскость нижнего. Возможно ещё есть ограничения, хотелось бы про них узнать.

При отсутствии таких ограничений границы пространства решений для заданных параметров, найденные методом Монте-Карло, слишком грубы.

Хотелось бы иметь аналитическое выражение пространства решений в зависимости от параметров. Или его не существует, и лучше пытаться улучшить метод Монте-Карло?

Итак, параметры модели следующие:
r - радиус верхней платформы
o - угол между ближайшими креплениями актуаторов в верхней платформе
R - радиус нижней платформы
O - угол между ближайшими креплениями актуаторов в нижней платформе
l - длина актуатора во втянутом состоянии
Lm - ход актуатора

Решение - матрица Rot (композиция поворотов на три осевых угла) и {px, py, pz} - координаты центра платформы.

Лучший актуатор, который пока удалось найти - http://www.aliexpress.com/store/product ... 37364.html
У него l - примерно 0,86, Lm - 0,6.

Требуется определить какие r, o, R, O выбрать для получения одного из наибольших пространств решений.

Используемая мной модель при r = 0,5 м, o = 10 градусов, R = 0,7 м, O = 10 градусов показывает возможность выноса центра верхней платформы на 1,5 метра в сторону или поворот на 90 градусов в горизонтальной плоскости. Выглядит маловероятным.


Кто-нибудь знает про аналитическое решение такой задачи и/или про неучтённые мной ограничения?
Либо есть решение для такой платформы с точки зрения физики, с учётом неравномерно распределённого груза на верхней платформе с ограничениями актуаторов по моменту силы?

Спасибо.
C_a_s_m
 
Сообщения: 16
Зарегистрирован: 02 дек 2014, 18:58

Re: Платформа Гью-Стюарта, математика

Сообщение pdk » 05 дек 2014, 11:06

>>Возможно ещё есть ограничения, хотелось бы про них узнать.
много еще ограничений можно найти:
-допустимые углы поворота шарниров (актуально для шаровых опор)
-актуаторы мешающие друг другу

>>Хотелось бы иметь аналитическое выражение пространства решений в зависимости от параметров. Или его не существует, и лучше пытаться улучшить метод Монте-Карло?
в лучшем случае найдете решение для идеальных актуаторов (без толщины) и идеальных шарниров
Монте-карло все-таки лучше, тем более задача для него прекрасно подходит - можно хоть все пространство поиска просмотреть
pdk
 
Сообщения: 77
Зарегистрирован: 20 янв 2010, 16:48
Откуда: Королев
Skype: pdkdrp
ФИО: Антон

Re: Платформа Гью-Стюарта, математика

Сообщение C_a_s_m » 05 дек 2014, 17:34

pdk писал(а):-допустимые углы поворота шарниров (актуально для шаровых опор)


С каждого конца актуатора находятся два шарнира?
Один ответственнен за угол между актуатором и плоскостью платформы (его предлагают к покупке вместе с актуатором). Угол можно найти через произведение векторов актуатора и нормали к плоскости платформы.
Второй - вращение в плоскости платформы. Кстати, я не видел связанных предложений с таким шарниром. Где такие продаются? Что-то похожее на шарикоподшипник с площадками, в которых есть крепёжные отверстия. У такого ограничений по углу быть не должно.

Хотя нет, этого недостаточно. В одном из концов актуатора находится выступающий двигатель.
Хм... Не могу представить... Актуатор же не способен в этих четырёх шарнирах вращаться вокруг собственной оси?
Хотя в вертикальном положении способен.
Так, что надо изменить? Один шарнир лишний? Добавить запрет вертикального положения? Или там более сложное условие?

pdk писал(а):-актуаторы мешающие друг другу


Добавил подсчёт расстояний между отрезками-актуаторами. Если оно меньше диаметра актуатора, то точно пересечение.
Хотя, наверное, надо считать путь, пройденный к поверхности актуатора в зависимости от угла между направлением актуатора и направлением между двумя ближайшими точками двух отрезков-актуаторов. И, соответственно, считать актуаторы цилиндрами.

Кстати, каким образом строятся ограничения подобного плана на реальной платформе? Насколько я видел видео систем управления, разрешённым является только гиперпараллелепипед из углов наклона и движений вдоль осей, что, разумеется, только подмножество всех допустимых решений.

pdk писал(а):в лучшем случае найдете решение для идеальных актуаторов (без толщины) и идеальных шарниров


Толщина начинает учитывается. Про шарниры - это только про углы? Они тоже будут.
Или это уже вопрос по физике, распределение сил? Или к технике - сопротивление на срез болтов крепления?
Это тоже нужно учитывать, но пока об этом не думал. Может быть хватит доказательств, что в крайних положениях прочности/устойчивости будет достаточно. Хотя, если есть метод вычисления для крайнего положения, он может быть применён для любого.

pdk писал(а):Монте-карло все-таки лучше, тем более задача для него прекрасно подходит - можно хоть все пространство поиска просмотреть


Аналитическое решение может быть лучше - в нём видны краевые зависимости. Монте-Карло даст только гиперпараллелепипед - либо "внутренний", либо "внешний" к множеству решений. Будет ли он достаточен? Есть ли какие-нибудь исследования по этому вопросу? К сожалению, механика - совсем не моя область.
C_a_s_m
 
Сообщения: 16
Зарегистрирован: 02 дек 2014, 18:58

Re: Платформа Гью-Стюарта, математика

Сообщение Myp » 05 дек 2014, 17:52

C_a_s_m писал(а):Где такие продаются?

на кухне полкочку открой и изучи степени свободы газового амортизатора на шарике, принцип совершенно одинаковый.
допустимый угол зависит от конкретного исполнения шарнира. используют разные вариации вот таких http://www.ebay.com/itm/Female-Rod-End- ... 5d528a9475
<telepathmode>На вопросы отвечает Бригадир Телепатов!</telepathmode>
Всё уже придумано до нас!
Аватара пользователя
Myp
скрытый хозяин вселенной :)
 
Сообщения: 15904
Зарегистрирован: 18 сен 2006, 12:26
Откуда: Тверь по прозвищу Дверь
прог. языки: псевдокод =) сила в алгоритме!
ФИО: глубокоуважаемый Фёдор Анатольевич

Re: Платформа Гью-Стюарта, математика

Сообщение C_a_s_m » 05 дек 2014, 18:24

Myp писал(а):на кухне полкочку открой и изучи степени свободы газового амортизатора на шарике, принцип совершенно одинаковый.


Открытие полочки подразумевает только одну степень свободы, там нужно вращение только в одной плоскости.

Myp писал(а):допустимый угол зависит от конкретного исполнения шарнира. используют разные вариации вот таких http://www.ebay.com/itm/Female-Rod-End- ... 5d528a9475


В таком варианте исполнения, насколько я понимаю, допустимые углы отклонения определяются отношением внешнего и внутреннего диаметров шарообразного "вкладыша". Судя по видео готовых платформ, требуются значительные углы, то есть они должны отличаться приблизительно в два раза.
В приведённом мной в первом сообщении актуаторе диаметр крепёжного отверстия - 13 мм, то есть получается, что ось будет диаметром 6,5 мм. Не очень много получается, а актуатор может выдать 3500 Н.
C_a_s_m
 
Сообщения: 16
Зарегистрирован: 02 дек 2014, 18:58

Re: Платформа Гью-Стюарта, математика

Сообщение C_a_s_m » 09 дек 2014, 17:59

Поиск и изыскания позволили получить немного дополнительной информации.
Во-первых, конечно, про господина Гью (Gough), которого называют то Гоф, то Го. Из британцев так издевались над известными Уотсоном и Хэймсом, так что это часто бывает.

Далее, упомянутое мной желание иметь двухподвижные кинематические пары на концах актуаторов не подтверждается теорией. Одна из них должна быть трёхподвижной. Придётся что-то думать о кардане. Кстати, как я понимаю, предложенный Муром шарнир - как раз трёхподвижный.
Как можно одноподвижную пару "нарастить" до трёхподвижной (усилие до 3500 H)? Где можно посмотреть?

Теперь про очередные результаты моделирования.

Брался радиус нижней платформы 1 м, угол между нижними креплениями ближайших актуаторов - 30 градусов. Для верхней - 0,8 и 25. Ограничение на расстояние между отрезками-осями актуаторов - 0,3 м.
Актуаторы те же - длина от 0,85 до 1,45 м (выдвижение - 0,6).

На каждом из измерений (сдвиги по осям и углы Крылова-Эйлера) наибольшая амплитуда ("внешний" гиперпараллелепипед, то есть для каждого значения какого-либо одного параметра существует хотя бы одна допустимая их комбинация) составили:

Вращение вокруг X 66 градусов
Вращение вокруг Y 58 градусов
Вращение вокруг Z 76 градусов
Движение вдоль X 1,39 м
Движение вдоль Y 1,44 м
Движение вдоль Z 0,7 м

Однако тут есть нюанс, о котором я ещё не заботился - углах (видимо, я ещё не до конца понял предложение pdk).
Если актуатор способен вращаться в плоскости платформы на 360 градусов, то ограничение на угол между платформой и актуатором (что-то типа 0-90 градусов) с точки зрения математики не имеет значения.
Но, как мне представляется, если верхняя платформа будет двигаться от центра к краю точно через актуатор, то действующие силы могут и не развернуть актуатор в плоскости платформы.
Есть мнения по этому поводу? Или стоит ограничить движение верхней платформы размерами нижней?

Теперь три варианта "гарантированных" амплитуд, то есть "внутренних" гиперпараллелепипедов. То есть любая комбинация параметров в этих пределах доступна.

Первый вариант - изменяются только углы при отсутствии линейных движений

Вращение вокруг X 26 градусов
Вращение вокруг Y 24 градусов
Вращение вокруг Z 26 градусов

Уменьшение в 2,5 раза!

Второй и третий варианты - отсутствие поворотов, только линейные движения

Движение вдоль X 0,58 м
Движение вдоль Y 0,58 м
Движение вдоль Z 0,26 м

Движение вдоль X 0,68 м
Движение вдоль Y 0,64 м
Движение вдоль Z 0,15 м

Опять в 2,5 раза!

Четвёртый вариант - комбинированный. Разрешены и повороты, и линейные перемещения.

Вращение вокруг X 20 градусов
Вращение вокруг Y 20 градусов
Вращение вокруг Z 12 градусов
Движение вдоль X 0,21 м
Движение вдоль Y 0,22 м
Движение вдоль Z 0,04 м

Напомню, актуатор способен выдвигаться на 0,6 м. Нижняя платформа - круг диаметром два метра. Высота конструкции - более метра. При этом движение по вертикали - всего 4 сантиметра.
И это - ради 10 градусов наклона и 10 сантиметров сдвига по двум осям.
При сравнении с самым первым вариантом хочется схватиться за голову. По-моему тут что-то не так с ограничениями.


Итого, пока стоят следующие вопросы:
1. Дизайн трёхподвижной кинематической пары (с учётом конструкции существующего актуатора). Кстати, он может проворачиваться вокруг своей оси?
2. Проворот актуатора вокруг своей оси для создания "тупых" углов/возможность выноса верхней платформы за габариты нижней.
3. Слишком узкие границы движения при простейших ограничениях. Что делать с ограничениями?

Прошу подсказать как их можно решить.
Спасибо.
C_a_s_m
 
Сообщения: 16
Зарегистрирован: 02 дек 2014, 18:58

Re: Платформа Гью-Стюарта, математика

Сообщение Dmitry__ » 09 дек 2014, 18:24

В тему не вьезжал, но осуждаю :)
Сделайте табличку по 1024 положения на каждый актуатор, поверьте это очень мало для контроллеров, но очень много для механики. Считайте таблички самыми извращенными способами.
Аватара пользователя
Dmitry__
 
Сообщения: 5997
Зарегистрирован: 13 янв 2011, 15:25
Откуда: Санкт-Петербург

Re: Платформа Гью-Стюарта, математика

Сообщение C_a_s_m » 09 дек 2014, 18:38

Dmitry__, лучше действительно почитать тему. Вопросы стоят совсем не про таблицы.
C_a_s_m
 
Сообщения: 16
Зарегистрирован: 02 дек 2014, 18:58

Re: Платформа Гью-Стюарта, математика

Сообщение Dmitry__ » 09 дек 2014, 18:41

C_a_s_m писал(а):Вопросы стоят совсем не про таблицы.

А про что? :oops:
Аватара пользователя
Dmitry__
 
Сообщения: 5997
Зарегистрирован: 13 янв 2011, 15:25
Откуда: Санкт-Петербург

Re: Платформа Гью-Стюарта, математика

Сообщение C_a_s_m » 09 дек 2014, 18:49

Про математические ограничения платформы Гью-Стюарта.
Внизу моего крайнего сообщения forum16/topic14816.html#p315998 заданы три вопроса; в настоящий момент мне бы хотелось услышать ответы именно на них. Но, возможно, для понимания этих вопросов, стоит прочитать эту пока ещё небольшую тему целиком.
C_a_s_m
 
Сообщения: 16
Зарегистрирован: 02 дек 2014, 18:58

Re: Платформа Гью-Стюарта, математика

Сообщение Dmitry__ » 09 дек 2014, 19:02

C_a_s_m писал(а):Про математические ограничения платформы Гью-Стюарта.

Если чесна, я не понимаю самих вопросов. Есть твердотельное моделирование, нет никакой ложки Эйлера, это все сказки. Inventor, SolidWorks есть? Пробовали?
C_a_s_m писал(а):Внизу моего крайнего сообщения заданы три вопроса;

Там нет вопросов, там есть приглашение "поговорить". :pardon:
Аватара пользователя
Dmitry__
 
Сообщения: 5997
Зарегистрирован: 13 янв 2011, 15:25
Откуда: Санкт-Петербург

Re: Платформа Гью-Стюарта, математика

Сообщение C_a_s_m » 09 дек 2014, 19:23

Dmitry__ писал(а):Есть твердотельное моделирование, нет никакой ложки Эйлера, это все сказки. Inventor, SolidWorks есть? Пробовали?


Нет, не пробовал. Как я уже говорил, механика - это не моё.

Но с точки зрения математики в настоящий момент есть отображение каждого (то есть одной точки) набора из (r, o, R, O, l, L, D) (семимерный) в фигуру (то есть множество точек) (x, y, z, alpha, beta, gamma) (множество шестимерных точек). И для этой зависимости необходимо решить задачу оптимизации - найти (r, o, R, O) (при заданных l, L, D)) такие, чтобы получившееся множество (x, y, z, alpha, beta, gamma) было наилучшим (причём мне пока не удалось установить критерий наилучшести).

Перечисленные программные продукты умеют решать подобные задачи оптимизации? По-моему это достаточно математическая задача.

Dmitry__ писал(а):Там нет вопросов, там есть приглашение "поговорить". :pardon:


Есть желание - поговори. Нет желания - о чём говорить? ;)
C_a_s_m
 
Сообщения: 16
Зарегистрирован: 02 дек 2014, 18:58

Re: Платформа Гью-Стюарта, математика

Сообщение Dmitry__ » 09 дек 2014, 19:53

C_a_s_m писал(а):Нет, не пробовал. Как я уже говорил, механика - это не моё.

Это не механика, это программы, т.е. такая же туфта (с точки зрения математика) как и математика :)
C_a_s_m писал(а):Есть желание - поговори. Нет желания - о чём говорить?

А ты сильно не возбуждайся. В твоих сообщениях куча несостыковок, если нужно чиста математика, то лучше на akademik.ru (сам придумал), но если твоя математика собирается общаться с физическими актуаторами, то попробуй спокойно перечитать мои сообщения :)
Ибо, математика всегда сосала у физики, и могла только переложить на матаппарат давно известные явления. Ну, не считая обжима термояда, но мы не об этом? :D
Аватара пользователя
Dmitry__
 
Сообщения: 5997
Зарегистрирован: 13 янв 2011, 15:25
Откуда: Санкт-Петербург

Re: Платформа Гью-Стюарта, математика

Сообщение C_a_s_m » 09 дек 2014, 23:26

Dmitry__ писал(а):Это не механика, это программы, т.е. такая же туфта (с точки зрения математика) как и математика :)


Если речь идёт про численные рассчёты, они там получаются лучше, чем используемый мной метод Монте-Карло?
Или они могут предоставить аналитическое решение?

Dmitry__ писал(а):если нужно чиста математика, то лучше на akademik.ru (сам придумал)


Вот если бы толковый форум подсказал, было бы дело. Пробовал я всякие "форумы мехмата" читать, там не любят говорить о науке. Всякая ерунда в интернетах очень хорошо прячет полезное.

Dmitry__ писал(а):но если твоя математика собирается общаться с физическими актуаторами


Разумеется. Именно поэтому мной задан вопрос о вариантах трёхподвижной кинематической пары для конкретного актуатора, например. Мне в голову ничего кроме кардана не приходит, но он не кажется мне достаточно хорошим из-за больших боковых нагрузок. В шаровом соединении - трение скольжения? Тоже не выглядит хорошим вариантом. К тому же, в актуаторе уже есть "разъём" для оси.

Dmitry__ писал(а):но мы не об этом?


Я бы предпочёл поменьше флейма.

Добавлено спустя 3 часа 15 минут 51 секунду:
Удалось получить визуальное представление множества решений (только координат).

В случае ограничения углов Крылова-Эйлера на равенство нулю визуально это похоже на конус (с основанием, паралелльным нижней платформе) размером чуть меньше верхней платформы из которого идут семь небольших ножек (шесть - вниз/наружу, между актуаторами, одна - вертикально из центра вниз).

При снятии ограничения на углы множество совсем чуть-чуть становится больше, заметнее всего на ножках.

На картинках форму видно плохо, лучше смотреть в динамике. Если интересно, могу присоединить программу рассчётчик-визуализатор.

Надо подумать о том, как визуализировать множество допустимых углов. Может быть уже есть готовые варианты представления?
C_a_s_m
 
Сообщения: 16
Зарегистрирован: 02 дек 2014, 18:58

Re: Платформа Гью-Стюарта, математика

Сообщение pdk » 09 дек 2014, 23:48

Аналитическое решение может быть лучше - в нём видны краевые зависимости.

Для 6ти приводов ничего там не видно...совсем.
Если очень хочется, выведите аналитику для двумерного случая-проекции ( три степени свободы - ужа не мало ), там можно будет максимизировать

Толщина начинает учитывается. Про шарниры - это только про углы? Они тоже будут.
Или это уже вопрос по физике, распределение сил? Или к технике - сопротивление на срез болтов крепления?

Пока про математику

В таком варианте исполнения, насколько я понимаю, допустимые углы отклонения определяются отношением внешнего и внутреннего диаметров шарообразного "вкладыша"

Определяются отношением диаметра вала к диаметру шара и для серийных шаровых опор невелико ( +-15градусов, гляньте каталоги SKF )
В изображениях гексаподов что можно на просторах сети стоят специально для них изготовленные опоры - с большими допустимыми углами.
Либо карданы ( кардан+подшипник в плоскости платформы для одной из сторон ).

Но пока вообще слабо понятна суть ведущейся беседы. Посчитать максимальный объем покрываемый для заданный актуаторов ( с учетом обеспечения в каждой точке заданного диапазона возможных угловых положений ) - пожалуйста, взяли перебрали все варианты и посчитали. Сколько параметров задают геометрию? Их граничные значения понятны. Так за чем дело то стало??
pdk
 
Сообщения: 77
Зарегистрирован: 20 янв 2010, 16:48
Откуда: Королев
Skype: pdkdrp
ФИО: Антон

След.

Вернуться в Новичкам или основы основ роботостроения.

Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей и гости: 4

Mail.ru counter