roboforum.ru

Есть 5 векторов - A, B, C, D, E.
A+B=E
C+D=E

Векторы A и B, C и D попарно ортогональны. Если посмотреть на рисунок - векторы C и D - зеркальное отражение векторов A и B относительно вектора E.

Требуется найти 2 ортогональных вектора одинаковой длины, используя эти 5 векторов в качестве исходных данных. Допустимые операции - сложение векторов и умножение вектора на действительную константу.

мммм, а A+D n B+C

Добавлено спустя 52 секунды:
не катит ли ? ) так если на глазок ? )

Неа. Если сделать A намного длиннее B то будет видно что не катит

ну тогда не будет зеркальности ))) я на ней основывался (

Мне кажется, что решения нет, но познаний в математике не хватает чтобы доказать.

Можно ввести ещё один вектор F перпендикулярный E, такой что |E|/|F| = |A|/|B|, или |E|/|F| = |B|/|A|

2E-B-C and 2E-A-D ? ))

А константу можно брать из длин векторов и всяко хитро рассчитывать? а то так-то задачу тупо можно разрешить, введя систему координат из исходной точки.

Нет, нельзя. Всё что есть - описано в первом посте. Ну и можно ещё один вектор ввести. Никакой тригонометрии и прочих хитростей. Чтобы были понятнее ограничения - векторы представляют собой синусоидальные сигналы одной частоты, обработать их надо операционными усилителями. Угол между векторами AE (и соответственно другие) зависит от частоты и заранее неизвестен, измерить его нет возможности

Т.е. запрещено умножение на неизвестные до выдачи самих векторов числа - так?

Только умножение на предопределённую константу и сложение, в любых комбинациях. То есть можно например получить с помощью указанных операций некий промежуточный вектор, и затем его использовать - но опять же только в указанных операциях.

Это всё должно быть реализовано в схеме на ОУ и резисторах. ОУ - сложение, резисторы - умножение на константу. Больше ничего

Я думаю в лоб надо решать так:
1. Понятно что все вершины лежат на окружности;
2. Понятно что при заданном векторе E (его можно считать горизонтальным, проходящим через центр окружности), вся фигура определяется положением точки стыковки векторов A и B на окружности, это тупо угол от 0 до Pi (если в радианах);
3. Понятно, что искомые вектора могут быть только вида x1*A+y1*C+z1*E и x2*A+y2*C+z2*E;

Дальше можно тупо попробовать найти x1,y1,z1,x2,y2,z2, чтобы при любом заданном угле эти вектора были перпендикулярны.

Добавлено спустя 11 минут 22 секунды:
Попробовать разрешить в лоб?

Добавлено спустя 11 минут 10 секунд:
Поправка в формулах выше - x1*A+y1*C+z1*E конечно же, т.к. B=E-A, т.е. они линейно зависимы.

А вообще возьмём для удобства (моего ) x1*E/2+y1*A+z1*C

Если вектора записывать (dx,dy), а угол принять z, тогда:

1. Вектор E: (2,0);
2. Вектор A: (cos(z)+1,sin(z));
4. Вектор C: (cos(z)+1,-sin(z));

Получаем систему:

F1=x1*E/2+y1*A+z1*C=(x1*2+y1*(1+cos(z))+z1*(1+cos(z)),y1*sin(z)-z1*sin(z))
F2=x2*E/2+y2*A+z2*C=(x2*2+y2*(1+cos(z))+z2*(1+cos(z)),y2*sin(z)-z2*sin(z))
F1*F2 должно быть =0 при любых z, получаем:

(x1+y1*(1+cos(z))+z1*(1+cos(z)),y1*sin(z)-z1*sin(z))*(x2+y2*(1+cos(z))+z2*(1+cos(z)),y2*sin(z)-z2*sin(z))=
(x1+y1*(1+cos(z))+z1*(1+cos(z)))*(x2+y2*(1+cos(z))+z2*(1+cos(z)))+(y1*sin(z)-z1*sin(z))*(y2*sin(z)-z2*sin(z))=0

Развернем последнее:

(x1+y1*(1+cos(z))+z1*(1+cos(z)))*(x2+y2*(1+cos(z))+z2*(1+cos(z)))+(y1*sin(z)-z1*sin(z))*(y2*sin(z)-z2*sin(z))=0

Раскроем скобки:

Добавлено спустя 3 минуты 48 секунд:
Обозначим для этого пока dos(z)=1+cos(z)

(x1+y1*dos(z)+z1*dos(z))*(x2+y2*dos(z)+z2*dos(z))+(y1*sin(z)-z1*sin(z))*(y2*sin(z)-z2*sin(z))=0

получим:

x1*x2+x1*y2*dos(z)+x2*y1*dos(z)+y1*y2*dos^2(z)+y1*y2*sin^2(z)-y1*z2*sin^2(z)-y2*z1*sin^2(z)+z1*z2*sin^2(z)=0

Добавлено спустя 2 минуты 6 секунд:
x1*x2+(x1*y2+x2*y1)*dos(z)+y1*y2*dos^2(z)+(y1*y2-y1*z2-y2*z1+z1*z2)*sin^2(z)=0

Добавлено спустя 8 минут 56 секунд:
Теперь вспомним, что такое dos(z)=1+cos(z):

x1*x2+(x1*y2+x2*y1)*(1+cos(z))+y1*y2*(1+2cos(z)+cos^2(z))+(y1*y2-y1*z2-y2*z1+z1*z2)*(1-cos^2(z))=0

Получаем сгруппировав вокруг степеней cos(z) всё:

(x1*x2+x1*y2+x2*y1+y1*y2+y1*y2-y1*z2-y2*z1+z1*z2) +
(x1*y2+x2*y1+2*y1*y2)*cos(z) +
(y1*y2-y1*y2+y1*z2+y2*z1-z1*z2)*cos^2(z) = 0

Упрощаем:

(x1*x2+x1*y2+x2*y1+2*y1*y2-y1*z2-y2*z1+z1*z2) +
(x1*y2+x2*y1+2*y1*y2)*cos(z) +
(y1*z2+y2*z1-z1*z2)*cos^2(z) = 0

или

(x1+y1)*(x2+y2)+(y1-z1)*(y2-z2) +
(x1*y2+x2*y1+2*y1*y2)*cos(z) +
(y1*z2+y2*z1-z1*z2)*cos^2(z) = 0

Интуиция подсказывает мне, что надо иметь нулевые коэффициенты при всех степенях cos(z), чтобы при любых z это было нулём

Добавлено спустя 59 секунд:
Т.е. имеем систему:
1) (x1+y1)*(x2+y2)+(y1-z1)*(y2-z2) =0
2) x1*y2+x2*y1+2*y1*y2 =0
3) y1*z2+y2*z1-z1*z2 =0

Разрешима ли она относительно x1,y1,z1,x2,y2,z2 ?

Разрешима ли она относительно x1,y1,z1,x2,y2,z2 ?

Система имеет решение только если кол-во неизвестных равно кол-ву уравнений.

А условие равенства модулей векторов, которые должны получиться - учтено?

Блин, забыл еще условие одинаковости длины слона то мы и не заметили

Добавлено спустя 12 секунд:
Ога, забыл

Добавлено спустя 1 минуту 3 секунды:

Master писал(а):Система имеет решение только если кол-во неизвестных равно кол-ву уравнений.

Полная фигня

Пример: Система "x+y+z=0" имеет не то что решение, а дофига решений

Добавлено спустя 4 минуты 2 секунды:
В общем еще уравнения:
F1*F1=F2*F2 должны быть

И что-то мне лень их выписывать

Система "x+y+z=0"

Это не система это одно уравнение
x+y+z=0
x*y*z=5
x/y=z
вот это уже система и она имеет решение, или не имеет.